Question

8．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ，直线l经过点M（5，$\sqrt{3}$），且倾斜角为$\frac{π}{6}$．
（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程；
（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求|MA|+|MB|的值．

Answer 1

分析 （1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，代入曲线C的极坐标方程，即可得到所求直角坐标方程；运用直线的参数方程：$\left\{\begin{array}{l}{x={x}_{0}+tcosα}\\{y={y}_{0}+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），可得所求；
（2）将直线的参数方程，代入曲线C的直角坐标方程，化简整理，运用韦达定理，即可得到所求和．

解答 解：（1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，
ρ=2cosθ得ρ²=2ρcosθ，
即为x²+y²=2x即（x-1）²+y²=1；           
又因为直线l过点M（5，$\sqrt{3}$），且倾斜角为$\frac{π}{6}$，
可得直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=5+tcos\frac{π}{6}}\\{y=\sqrt{3}+tsin\frac{π}{6}}\end{array}\right.$，
即为$\left\{\begin{array}{l}{x=5+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）；
（2）设A，B两点对应的参数分别为t₁，t₂，
将直线l的参数方程代入圆的直角坐标方程（x-1）²+y²=1，
得（4+$\frac{\sqrt{3}}{2}$t）²+（$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$t）²=1，
化简得t²+5$\sqrt{3}$t+18=0，
即有t₁+t₂=-5$\sqrt{3}$，t₁t₂=18，
可得|MA|+|MB|=|t₁|+|t₂|=|t₁+t₂|=5$\sqrt{3}$．

点评 本题考查极坐标方程和直角坐标方程的互化，以及直线的参数方程的求法，同时考查直线参数方程的运用，考查运算能力，属于中档题．