Question

已知函数f（x）=asin3x+bx³+4（a∈R，b∈R），f′（x）为f（x）的导函数，则f（2014）+f（-2014）+f′（2015）-f′（-2015）=（　　）

• A、8
• B、2014
• C、2015
• D、0

Answer 1

考点：导数的运算

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：观察已知解析式f（x）=asin3x+bx³+4，构造g（x）=f（x）-4=asin3x+bx³是奇函数，而它的导数是偶函数，利用奇偶函数的性质解答．

解答： 解：由已知，设函数g（x）=f（x）-4=asin3x+bx³是奇函数，由g（-x）=-g（x），∴g（x）为奇函数，
f′（x）=3acos3x+3bx²为偶函数，∴f′（-x）=f′（x），
∴f（2014）+f（-2014）+f′（2015）-f′（-2015）=g（2014）+4+g（-2014）+4+f′（2015）-f′（2015）=g（2014）-g（2014）+f′（2015）-f′（2015）+8=8．
故选A．

点评：本题考查了导数的运算以及函数奇偶性的运用，灵活构造函数g（x）是解答本题的关键．