Question

某高校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作．规定：至少正确完成其中2题的便可提交通过．已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是

2

3

，且每题正确完成与否互不影响．
（Ⅰ）分别写出甲、乙两考生正确完成题数的数学期望；
（Ⅱ）试从两位考生正确完成题数的数学期望及甲，乙能通过提交的概率，分析比较两位考生的实验操作能力．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,极差、方差与标准差

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为ξ，η，则ξ的取值分别为1、2、3，η的取值分别，0、1、2、3，分别求出相应的概率，由此能求出甲、乙两考生正确完成题数的数学期望．
（Ⅱ）因为P（ξ≥2）＞P（η≥2），从做对题的数学期望考察，两人水平相当；从至少正确完成2题的概率考察，甲通过的可能性大，因此可以判断甲的实验操作能力较强．

解答： 解：（Ⅰ）设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为ξ，η，
则ξ的取值分别为1、2、3，η的取值分别，0、1、2、3，
P（ξ=1）=

C 1 4 C 2 2

C 3 6

=

1

5

，
P（ξ=2）=

C 2 4 C 1 2

C 3 6

=

3

5

，
P（ξ=3）=

C 3 4 C 0 2

C 3 6

=

1

5

，
所以考生甲正确完成实验操作的题数的概率分布列为：

ξ	1	2	3
P	1 5	3 5	1 5

∴E（ξ）=1×

1

5

+3×

3

5

+3×

1

5

=2．
因为η～B（3，

2

3

），所以考生乙正确完成实验操作的题数的期望E（η）=3×

2

3

=2．
（Ⅱ）因为P（ξ≥2）=

3

5

+

1

5

=

4

5

，
P（η≥2）=

12

27

+

8

27

=

20

27

，所以P（ξ≥2）＞P（η≥2），
从做对题的数学期望考察，两人水平相当；
从至少正确完成2题的概率考察，甲通过的可能性大，
因此可以判断甲的实验操作能力较强．

点评：本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查两人实验操作能力的判断，是中档题，解题时要注意二项分布的合理运用．