Question

如图，四棱锥A-BCDE，平面ABC⊥平面BCDE，△ABC边长为2的等边三角形，底面BCDE是矩形，且CD=

2

．
（Ⅰ）若点G是AE的中点，求证：AC∥平面BDG；
（Ⅱ）试问点F在线段AB上什么位置时，二面角B-CE-F的大小为

π

4

．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）利用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理即可证明；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求平面BCE和CEF的法向量，利用向量法求二面角的大小，解方程即可得出．

解答： （Ⅰ）证明：连CE交BD于点M，∵四边形BCDE是矩形，M为CE中点，
在△ACE中，G为AE中点，故GM∥AC．
∵GM?平面BDG，AC?平面BDG，∴AC∥平面BDG．
（Ⅱ）解：取BC中点O，分别以OB，OM，OA所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(0，0，

3

)，B(1，0，0)，C(-1，0，0)，E(1，

2

，0)设

BF

=λ

BA

 (0≤λ≤1)，得F(1-λ，0，

3

λ)，显然平面BCE的法向量为（0，0，1）
设平面CEF的法向量为

n

=(x，y，z)
由

n • CE =2x+ 2 y=0 n • CF =(2-λ)x+ 3 λz=0

取x=1，得y=-

2

，z=

λ-2

3 λ

，∴

n

=(1，-

2

，

λ-2

3 λ

)
依题意有cos

π

4

=

| λ-2 3 λ |

1+2+( λ-2 3 λ )2

，⇒2λ²+λ-1=0
解得λ=-1（舍去）或λ=

1

2

∴当点F在AB中点时，恰好满足题意．

点评：本题主要考查直线和平面平行的判定定理，以及利用向量法解决二面角的大小问题，综合性较强，运算量较大．