Question

已知函数。
(1)若的单调减区间是,求实数a的值;
(2)若函数在区间上都为单调函数且它们的单调性相同，求实数a的取值范围；
(3)a、b是函数的两个极值点，a<b，。求证：对任意的，不等式成立．

Answer 1

(1) (2)  (3)略

试题分析：(1)由题得，以及的单调减区间,解得 ;
(2)函数在区间上都为单调函数且它们的单调性相同,转化为不等式恒成立的问题．
(3)由 
又∵有两个不相等的正跟a,b且a<b, ,得 , 即在上单调递减,

设, 求得 再利用单调性即可．
(1) 由题得,
要使的单调减区间是则,解得 ;           (2分)
另一方面当时,
由解得,即的单调减区间是．
综上所述．                  (4分)
(2), 函数在区间上都为单调函数且它们的单调性相同,
∴, ∴            (6分)
∵,又
∴                    (8分)
(3)∵ 
又∵有两个不相等的正跟a,b且a<b, ,∴ 
∴当时, , 即在上单调递减,∴    (10分)
则对任意的,

设, 则 
当时, ∴在上单增, ∴, ∴也在上单增,  (12分)
∴
∴不等式对任意的成立．           (14分)