Question

已知函数，其中是自然对数的底数，．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若，求的单调区间；
(3)若，函数的图像与函数的图像有3个不同的交点，求实数的取值范围．

Answer 1

（1）；（2）当时，的单调递减区间为，，单调递增区间为；当时，的单调递减区间为；当时，的单调递减区间为，，单调递增区间为；（3）．

试题分析：(1) 利用导数的几何意义求切线的斜率，再求切点坐标，最后根据点斜式直线方程求切线方程；(2)利用导数的正负分析原函数的单调性，注意在解不等式时需要对参数的范围进行讨论；(3)根据单调性求函数的极值，根据其图像交点的个数确定两个函数极值的大小关系，然后解对应的不等式即可．
试题解析：（1）因为
所以
所以曲线在点处的切线斜率为
又因为
所以所求切线方程为，即              2分
（2）
①若，当或时，；当时， 
所以的单调递减区间为，
单调递增区间为                            4分
②若，
所以的单调递减区间为                      5分
③若，当或时，；当时，
所以的单调递减区间为，
单调递增区间为                            7分
（3）由（2）知函数在上单调递减，在单调递增，在上单调递减
所以在处取得极小值，在处取得极大值    8分
由，得
当或时，；当时，
所以在上单调递增，在单调递减，在上单调递增
故在处取得极大值，在处取得极小值       10分
因为函数与函数的图象有3个不同的交点
所以，即，所以          12分．