题目内容

已知f(x)=x3-6x2+9x-abc,a<b<c,且f(a)=f(b)=f(c)=0.现给出如下结论:
①f(0)f(1)>0;        ②f(0)f(1)<0;
③f(0)f(3)>0;        ④f(0)f(3)<0.
其中正确结论的序号是________.
②③
∵f′(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3),
由f′(x)<0,得1<x<3,
由f′(x)>0,
得x<1或x>3,
∴f(x)在区间(1,3)上是减函数,在区间(-∞,1),(3,+∞)上是增函数.
又a<b<c,f(a)=f(b)=f(c)=0,
∴y极大值=f(1)=4-abc>0,
y极小值=f(3)=-abc<0.
∴0<abc<4.
∴a,b,c均大于零,或者a<0,b<0,c>0.又x=1,x=3为函数f(x)的极值点,后一种情况不可能成立,如图.

∴f(0)<0.∴f(0)f(1)<0,f(0)f(3)>0.∴正确结论的序号是②③.
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