Question

3．设函数f（x）=-x³-2x²+4x+8．
（1）求f（x）的极大值点与极小值点及单调区间；
（2）求f（x）在区间[-5，0]上的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （1）求函数的导数，利用函数的导数和极值之间的关系求函数的极大值与极小值点；
（2）利用导数求出极值，端点的函数值，然后求函数的最大值和最小值．

解答 解：（1）函数的导数为f′（x）=-3x²-4x+4．
令f′（x）=0，解得x₁=$\frac{2}{3}$，x₂=-2．
由f′（x）＞0，得-2＜x＜$\frac{2}{3}$，即f（x）的单调递增区间（-2，$\frac{2}{3}$），
由f′（x）＞0，得x＜-2或x＞$\frac{2}{3}$，所以函数单调递减区间（-∞，-2），（$\frac{2}{3}$，+∞）．
∴f（x）的极大值点x=$\frac{2}{3}$，极小值点x=-2．
（2）列表
当x变化时，f（x），f′（x）的变化表为：

x	-5	（-5，-2）	-2	（-2，0）	0
f′（x）		-	0	+
f（x）		↘	极小值	↗

当x=0时，f（0）=8，
当x=-2时，f（-2）=0，
当x=-5时，f（-5）=63．
∴在区间[-5，0]上的最大值为63，最小值为0．

点评 本题主要考查函数的极值和最值与导数之间的关系，要求熟练掌握导数的应用．函数的最值的求法，考查计算能力．