Question

12．过顶点在原点、对称轴为y轴的抛物线E上的定点A（2，1）作斜率分别为k₁、k₂的直线，分别交抛物线E于B、C两点．
（1）求抛物线E的标准方程和准线方程；
（2）若k₁+k₂=k₁k₂，证明：直线BC恒过定点．

Answer 1

分析 （1）设抛物线的方程为x²=ay，代入A（2，1），可得a=4，即可求抛物线E的标准方程和准线方程；
（2）设出AB和AC所在的直线方程，分别把直线和抛物线联立后求得B，C两点的横坐标，再由两点式写出直线BC的方程，把B，C的坐标，k₁+k₂=k₁k₂，代入后整理，利用相交线系方程的知识可求出直线BC恒过的定点．

解答 （1）解：设抛物线的方程为x²=ay，则
代入A（2，1），可得a=4，
∴抛物线E的标准方程为x²=4y，准线方程为y=-1；
（2）证明：设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则直线AB方程y=k₁（x-2）+1，
AC方程y=k₂（x-2）+1，
联立直线AB方程与抛物线方程，消去y，得x²-4k₁x+8k₁-4=0，
∴x₁=4k₁-2①
同理x₂=4k₂-2②
而BC直线方程为y-$\frac{1}{4}$x₁²=$\frac{{x}_{2}+{x}_{1}}{4}$（x-x₁），③
∵k₁+k₂=k₁k₂，
∴由①②③，整理得k₁k₂（x-2）-x-y-1=0．
由x-2=0且-x-y-1=0，得x=2，y=-3，故直线BC经过定点（2，-3）．

点评 本题主要考查了抛物线的方程与几何性质，考查直线与抛物线的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系代入运算，这是处理这类问题的最为常用的方法．