Question

18．A，B两地相距300km，汽车从A地以vkm/h的速度匀速行驶到B地（速度不得超过60km/h）．已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为250元，可变成本（单位：元）与速度v的立方成正比，比例系数$\frac{1}{1000}$，设全程的运输成本为y元．
（1）求y关于v的函数关系；
（2）为使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？

Answer 1

分析 （1）求出汽车从A地匀速行驶到B地所用时间，根据汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可得全程运输成本，及函数的定义域；
（2）利用基本不等式可得结论．

解答 解：（1）依题意知汽车从A地匀速行驶到B地所用时间为$\frac{300}{v}$，
全程运输成本为y=$\frac{300}{v}$（250+$\frac{1}{1000}{v}^{3}$），即y=300（$\frac{250}{v}$+$\frac{1}{1000}{v}^{2}$），定义域为（0，60]，
（2）y=300（$\frac{250}{v}$+$\frac{1}{1000}{v}^{2}$）=300（$\frac{125}{v}$+$\frac{125}{v}$+$\frac{1}{1000}{v}^{2}$）≥300×3$\root{3}{\frac{125×125}{1000}}$=2250，
当且仅当$\frac{125}{v}$=$\frac{1}{1000}{v}^{2}$，即v=50km/h时，全程运输成本最小，最小为2250元．

点评 本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，解题的关键是构建函数模型，利用基本不等式求最值．