Question

13．已知点F为抛物线E：y²=2px（p＞0）的焦点，点A（3，m）在抛物线E上，且|AF|=4．
（Ⅰ）求抛物线E的方程；
（Ⅱ）已知点G（-1，0），延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．

Answer 1

分析 （I）由抛物线定义可得：|AF|=3+$\frac{p}{2}$=4，解得p．即可得出抛物线E的方程．
（II）由点A（3，m）在抛物线E上，解得m，不妨取A（3，2$\sqrt{3}$），F（1，0），可得直线AF的方程，与抛物线方程联立化为3x²-10x+3=0，解得B（$\frac{1}{3}$，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．又G（-1，0），计算k_GA，k_GB，可得k_GA+k_GB=0，∠AGF=∠BGF，即可证明以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．

解答 （I）解：由抛物线定义可得：|AF|=3+$\frac{p}{2}$=4，解得p=2．
∴抛物线E的方程为y²=4x；
（II）证明：∵点A（3，m）在抛物线E上，
∴m²=4×3，解得m=±2$\sqrt{3}$，不妨取A（3，2$\sqrt{3}$），F（1，0），
∴直线AF的方程：y=$\sqrt{3}$（x-1），
联立抛物线，化为3x²-10x+3=0，解得x=3或$\frac{1}{3}$，B（$\frac{1}{3}$，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．
又G（-1，0），∴k_GA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．k_GB=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴k_GA+k_GB=0，
∴∠AGF=∠BGF，∴x轴平分∠AGB，
因此点F到直线GA，GB的距离相等，
∴以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．

点评 本小题主要考查抛物线、直线与抛物线及其圆的位置关系及其性质、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，属于难题．