Question

已知函数f（x）=lnx-a（x-a），a∈R．
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y=2x平行，求实数a的取值范围；
（2）若x＞0时，不等式f（x）≤0恒成立
①求实数a的值；
②x＞0时，比较a（x-

1

x

）与2lnx的大小．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,函数恒成立问题

专题：计算题,分类讨论,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）先由所给函数的表达式，求导数fˊ（x），再根据导数的几何意义求出切线的斜率，最后由平行直线的斜率相等方程求a的值即可；
（2）①求出函数f（x）的导数，讨论当a≤0时，当a＞0时，函数的最大值，只要f（x）_max≤0，即可得到a的取值范围；②令g（x）=a（x-

1

x

）-2lnx，求出导数，ⅰ）当a=1时，ⅱ）当0＜a＜1时，g（x）的极值和最值情况，确定函数的零点，进而判断所求的大小关系．

解答： 解：（1）函数f（x）=lnx-a（x-a）的导数f′（x）=

1

x

-a，
则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为1-a，
又切线与直线y=2x平行，即有1-a=2，解得a=-1；
（2）①函数f（x）=lnx-a（x-a）的导数f′（x）=

1

x

-a，
当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）递增，f（x）无最值，则不成立；
当a＞0时，x=

1

a

处导数左正右负，f（x）取极大，且为最大，
若x＞0时，不等式f（x）≤0恒成立，
则有f（x）_max≤0，即有-lna-1+a²≤0，令f（a）=-lna-1+a²，
则f（1）=0，由y=x²-1和y=lnx的图象可得两个交点，横坐标设为x₀，1，
则a的取值范围是[x₀，1]（0＜x₀＜0.5）；
②令g（x）=a（x-

1

x

）-2lnx
则g′（x）=a（1+

1

x2

）-

2

x

，（x＞0）
ⅰ）当a=1时，g′（x）=（

1

x

-1）²≥0，g（x）在（0，+∞）递增，
且g（1）=0，则当0＜x＜1，g（x）＜0，即有a（x-

1

x

）＜2lnx，
x＞1，则g（x）＞0，即有a（x-

1

x

）＞2lnx，
ⅱ）当0＜a＜1时，g′（x）=a（1+

1

x2

）-

2

x

=

ax2-2x+a

x2

，
令y=ax²-2x+a，由于△=4-4a²＞0，则y=0有两根，
即为x₁=

1- 1-a2

a

，x₂=

1+ 1-a2

a

，且x₁x₂=1．
且有在x₁处g（x）取极大值m＞0，在x₂处g（x）取极小值n＜0，
故g（x）=0与x轴有三个交点，横坐标由小到大设为：b，c，d．
则有当x=b，c，d，有a（x-

1

x

）=2lnx，
当0＜x＜b，或c＜x＜d，有a（x-

1

x

）＜2lnx，
当b＜x＜c，或x＞d有a（x-

1

x

）＞2lnx．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间、极值和最值，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于综合题．