题目内容
已知函数f（x）=2cos(x+
)[sin(x+
)-
cos(x+
)]．
（1）求f（x）的值域和最小正周期；
（2）方程m[f（x）+
]+2=0在x∈[0，
]内有解，求实数m的取值范围．
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 3 |
（1）求f（x）的值域和最小正周期；
（2）方程m[f（x）+
| 3 |
| π |
| 6 |
考点：两角和与差的正弦函数,三角函数的周期性及其求法
专题：常规题型,三角函数的图像与性质
分析：（1）先利用和差公式把函数解析式化成标准形式，然后结合正弦函数的值域求f（x）的值域；
（2）根据x的范围求出[f（x）+
]的范围，然后由m[f（x）+
]+2=0知，m≠0，f（x）+
=-
，只须让
≤-
≤2即可．
（2）根据x的范围求出[f（x）+
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 2 |
| m |
| 3 |
| 2 |
| m |
解答：
解：（1）f（x）=2sin（2x+
）-
．
∵-1≤sin（2x+
）≤1．
∴-2-
≤2sin（2x+
）-
≤2-
，T=
=π，
即f（x）的值域为[-2-
，2-
]，最小正周期为π．…（7分）
（2）当x∈[0，
]时，2x+
∈[
，
]，
故sin（2x+
）∈[
，1]，
此时f（x）+
=2sin（2x+
）∈[
，2]．
由m[f（x）+
]+2=0知，m≠0，∴f（x）+
=-
，
即
≤-
≤2，
即
，解得-
≤m≤-1．即实数m的取值范围是[-
，-1]．
| π |
| 3 |
| 3 |
∵-1≤sin（2x+
| π |
| 3 |
∴-2-
| 3 |
| π |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| 2π |
| 2 |
即f（x）的值域为[-2-
| 3 |
| 3 |
（2）当x∈[0，
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
故sin（2x+
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
此时f（x）+
| 3 |
| π |
| 3 |
| 3 |
由m[f（x）+
| 3 |
| 3 |
| 2 |
| m |
即
| 3 |
| 2 |
| m |
即
|
2
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
点评：本题考查了三解函数式的化简及三角函数的图象与性质，解题的关键是把函数解析式化成标准形式，在求解函数的值域时注意x的取值范围．把方程有解问题转化成求函数的值域问题解决．
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|
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| ||
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