Question

已知抛物线G：y²=2px（p＞0）与圆E：(x+

p

2

)2+y2=r2（r＞0），C，D抛物线上两点，CD⊥x轴，且CD过抛物线的焦点F，EC=2

2

．
（1）求抛物线G的方程．
（2）过焦点F的直线l与圆E交于A，B两不同点，试问△EAB是否存在面积的最大值，若存在求出相应直线的斜率，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意，EF=p，CF=p，利用EC=2

2

，求出p，即可求抛物线G的方程．
（2）设l：y=k（x-1），圆心E到直线l的距离为d，则AB=2

r2-d2

，表示出面积，利用配方法求最值，即可得出结论．

解答： 解：（1）由题意，EF=p，CF=p，
∴EC=

CF2+EF2

=

2

p，
∵EC=2

2

，
∴p=2，
∴抛物线G的方程为y²=4x；
（2）设l：y=k（x-1），圆心E到直线l的距离为d，则AB=2

r2-d2

，
S_△EAB=

1

2

AB•d=

r2d2-d4

=

-(d2- r2 2 )2+ r4 4

，
∴d=

2

2

r时，S_△EAB取得最大值

r2

2

，
∵d=

|2k|

1+k2

=

2

2

r＜r，
∴k²=

r2

8-r2

，
∴k=±r

1 8-r2

，
∴△EAB面积存在最大值

r2

2

，相应直线的斜率为=r

1 8-r2

．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查抛物线方程，考查学生的计算能力，属于中档题．