Question

【题目】如图，抛物线的焦点为，是抛物线的准线与轴的交点，直线经过焦点且与抛物线相交于、两点，直线、分别交轴于、两点，记、的面积分别为、.

（1）求证：；

（2）若恒成立，求实数的最大值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）由题意可知，直线的斜率不为，可设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用三角形的面积公式与弦长公式可证得结论成立；

（2）求得直线的方程，可求得点的坐标，同理可得出点的坐标，可求得的最小值，进而可求得实数的最大值.

（1）由已知可得、，

若直线的斜率为，则该直线与抛物线不可能有两个交点，不合乎题意，

所以，直线的斜率不可能为，故可设，

联立，

设、，则，，

所以，

而，

故；

（2）直线，可得，同理，

所以

，

所以，所以的最大值为.