Question

已知y=f（x）是奇函数，它在（0，+∞）上是增函数，且f（x）＜0，问F（x）=

1

f(x)

在（-∞，0）上是增函数还是减函数？证明结论．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数奇偶性的性质以及函数单调性之间的关系即可得到结论．

解答： 解：∵y=f（x）是奇函数，在（0，+∞）上是增函数且f（x）＜0，
∴在（-∞，0）上f（x）＞0，且单调递减，
则F（x）=

1

f(x)

在（-∞，0）上是增函数．
证明：设x₁＜x₂＜0，
则F（x₁）-F（x₂）=

1

f(x1)

-

1

f(x2)

=

f(x2)-f(x1)

f(x1)f(x2)

，
∵在（-∞，0）上f（x）＞0，且单调递减，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x₁）f（x₂）＞0，
则F（x₁）-F（x₂）＞0，
即F（x₁）＞F（x₂），
则F（x）=

1

f(x)

在（-∞，0）上是增函数．

点评：本题主要考查函数单调性的判断和证明，根据函数奇偶性和单调性的性质，结合函数单调性的定义是解决本题的关键．