Question

已知函数f（x）=a（x-1）²+lnx+1．
（Ⅰ）当a=-

1

4

时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）当x∈[1，+∞）时，函数y=f（x）图象上的点都在

x≥1 y-x≤0

所表示的平面区域内，求数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）当a=-

1

4

时，f(x)=-

1

4

(x-1)2+lnx+1=-

1

4

x2+

1

2

x+lnx+

3

4

(x＞0)，求导f′(x)=-

1

2

x+

1

x

+

1

2

=-

(x-2)(x+1)

2x

(x＞0)；从而求极值；
（Ⅱ）原题意可化为当x∈[1，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，即a（x-1）²+lnx-x+1≤0恒成立；设g（x）=a（x-1）²+lnx-x+1（x≥1），求导g′(x)=2a(x-1)+

1

x

-1=

2ax2-(2a+1)x+1

x

；从而求a．

解答： 解：（Ⅰ）当a=-

1

4

时，f(x)=-

1

4

(x-1)2+lnx+1=-

1

4

x2+

1

2

x+lnx+

3

4

(x＞0)，
f′(x)=-

1

2

x+

1

x

+

1

2

=-

(x-2)(x+1)

2x

(x＞0)；
由f′（x）＞0解得0＜x＜2，由f′（x）＜0解得x＞2；
故当0＜x＜2时，f（x）单调递增；当x＞2时，f（x）单调递减；
所以当x=2时，函数f（x）取得极大值f(2)=

3

4

+ln2；
（Ⅱ）因f（x）图象上的点在

x≥1 y-x≤0

所表示的平面区域内，
即当x∈[1，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，
即a（x-1）²+lnx-x+1≤0恒成立；
设g（x）=a（x-1）²+lnx-x+1（x≥1），
只需g（x）_max≤0即可；
由g′(x)=2a(x-1)+

1

x

-1=

2ax2-(2a+1)x+1

x

；
（ⅰ）当a=0时，g′(x)=

1-x

x

，当x＞1时，g′（x）＜0，
函数g（x）在（1，+∞）上单调递减，
故g（x）≤g（1）=0成立；
（ⅱ）当a＞0时，由g′(x)=

2ax2-(2a+1)x+1

x

=

2a(x-1)(x- 1 2a )

x

，
令g′（x）=0，得x₁=1或x2=

1

2a

；
①若

1

2a

＜1，即a＞

1

2

时，在区间（1，+∞）上，g′（x）＞0，
函数g（x）在（1，+∞）上单调递增函数，
g（x）在[1，+∞）上无最大值，不满足条件；
②若

1

2a

≥1，即0＜a≤

1

2

时，
函数g（x）在(1，

1

2a

)上单调递减，在区间(

1

2a

，+∞)上单调递增，
同样g（x）在[1，+∞）上无最大值，不满足条件；
（ⅲ）当a＜0时，由g′(x)=

2a(x-1)(x- 1 2a )

x

，
因为x∈（1，+∞），故g′（x）＜0；
则函数g（x）在（1，+∞）上单调递减，
故g（x）≤g（1）=0成立．
综上，数a的取值范围是a≤0．

点评：本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，属于中档题．