Question

用记号

n

i=0

a_i表示a₀+a₁+a₂+a₃+…+a_n，b_n=

n

i=0

a_2i，其中i∈N，n∈N^*．
（1）设

2n

k=1

（1+x）^k=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_2n-1x^2n-1+a_2nx²ⁿ（x∈R），求b₂的值；
（2）若a₀，a₁，a₂，…，a_n成等差数列，求证：

n

i=0

（a_iC

i n

）=（a₀+a_n）•2^n-1；
（3）在条件（1）下，记d_n=1+

n

i=0

[（-1）ⁱb_iC

i n

]，且不等式t•（d_n-1）≤b_n恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：数列的应用

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）将n=2代入，再令x=1，-1，即可求b₂的值；
（2）设等差数列的通项公式为a_n=a₀+nd，利用k

C

k n

=n

C

k-1 n-1

，即可得出结论；
（3）求出b_n=4ⁿ-1、d_n=（-3）ⁿ+1代入不等式t•（d_n-1）≤b_n，分类讨论，即可求实数t的取值范围．

解答： （1）解：将n=2代入

2n

k=1

（1+x）^k=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_2n-1x^2n-1+a_2nx²ⁿ中得，

4

i=1

（1+x）^k=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴，…（1分）
其中a₀+a₁+a₂+a₃+a₄=2+4+8+16=30，…（2分）
a₀-a₁+a₂-a₃+a₄=0…（3分），
所以b₂=a₀+a₂+a₄=15…（4分）
（2）证明：设等差数列的通项公式为a_n=a₀+nd，其中d为公差…（5分）
则

n

i=0

（a_iC

i n

）=a₀（

C

0 n

+

C

1 n

+…+

C

n n

）+d（

C

1 n

+2

C

2 n

+…+n

C

n n

）…（6分）
因为k

C

k n

=n

C

k-1 n-1

…（7分），
所以

C

1 n

+2

C

2 n

+…+n

C

n n

=n（

C

0 n-1

+

C

1 n-1

+…+

C

n-1 n-1

）…（8分）
所以

n

i=0

（a_iC

i n

）=a0•2n+nd•2^n-1=（2a₀+nd）•2^n-1=（a₀+a_n）•2^n-1；…（10分）
（3）解：令x=1，则

2n

i=0

a_i=2+2²+…+2²ⁿ=

2(1-4n)

1-2

=2•4ⁿ-2…（11分）
x=-1，则

2n

i=0

[（-1）ⁱa_i]=0…（12分），
所以b_n=

n

i=0

a2i=4ⁿ-1…（13分）
根据已知条件可知，d_n=1+

n

i=0

[（-1）ⁱb_iC

i n

]=（-3）ⁿ+1…（14分）
将b_n=4ⁿ-1、d_n=（-3）ⁿ+1代入不等式t•（d_n-1）≤b_n得，t[（-3）ⁿ+1-1]≤4ⁿ-1…（15分）
当n为偶数时，t≤(

4

3

)n-(

1

3

)n，所以t≤(

4

3

)2-(

1

3

)2=

5

3

；…（16分）；
当n为奇数，t≥-[(

4

3

)n-(

1

3

)n]，所以t≥-1；…（17分），
综上所述，所以实数t的取值范围是[-1，

5

3

]．

点评：本题考查数列的应用，考查二项式定理的运用，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．