Question

2．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}（1-x）+1，-1≤x＜k}\\{x|x-1|，k≤x≤a}\end{array}\right.$，若存在实数k使得函数f（x）的值域为[0，2]，则实数a的取值范围是[1，2]．

Answer 1

分析 当-1≤x≤k时，函数f（x）=log₂（1-x）+1为减函数，且在区间左端点处有f（-1）=2，当k≤x≤a时，f（x）在[k，$\frac{1}{2}$]，[1，a]上单调递增，在[$\frac{1}{2}$，1]上单调递减
从而当x=1时，函数有最小值，即为f（1）=0，函数在右端点的函数值为f（2）=2，结合图象即可求出a的取值范围．

解答 解：当-1≤x≤k时，函数f（x）=log₂（1-x）+1为减函数，
且在区间左端点处有f（-1）=2，
令f（x）=0，解得x=$\frac{1}{2}$，
令f（x）=x|x-1|=2，解得x=2，
∵f（x）的值域为[0，2]，
∴k≤$\frac{1}{2}$，
当k≤x≤a时，f（x）=x|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x，1≤x≤a}\\{-{x}^{2}+x，k≤x＜1}\end{array}\right.$，
∴f（x）在[k，$\frac{1}{2}$]，[1，a]上单调递增，在[$\frac{1}{2}$，1]上单调递减，
从而当x=1时，函数有最小值，即为f（1）=0
函数在右端点的函数值为f（2）=2，
∵f（x）的值域为[0，2]，
∴1≤a≤2
故答案为：[1，2]

点评 本题考查分段函数的问题，根据函数的单调性求出函数的值域是关键，属于中档题