Question

10．如图，在几何体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，EF∥CD，CD⊥EA，CD=2EF=2，ED=$\sqrt{3}$．M为棱FC上一点，平面ADM与棱FB交于点N．
（Ⅰ）求证：ED⊥CD；
（Ⅱ）求证：AD∥MN；
（Ⅲ）若AD⊥ED，试问平面BCF是否可能与平面ADMN垂直？若能，求出$\frac{FM}{FC}$的值；若不能，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明：CD⊥平面EAD，即可证明ED⊥CD；
（Ⅱ）证明AD∥平面FBC，即可证明：AD∥MN；
（Ⅲ）若使平面ADMN⊥平面BCF，则DM⊥平面BCF，所以DM⊥FC，可得DF=DC=2．若使DM⊥FC能成立，则M为FC的中点．

解答 （Ⅰ）证明：因为ABCD为矩形，所以VD⊥AD．[（1分）]
又因为CD⊥EA，[（2分）]
所以CD⊥平面EAD．[（3分）]
所以ED⊥CD．[（4分）]
（Ⅱ）证明：因为ABCD为矩形，所以AD∥BC，[（5分）]
所以AD∥平面FBC．[（7分）]
又因为平面ADMN∩平面FBC=MN，
所以AD∥MN．[（8分）]
（Ⅲ）解：平面ADMN与平面BCF可以垂直．证明如下：[（9分）]
连接DF．因为AD⊥ED，AD⊥CD．ED∩CD=D，
所以AD⊥平面CDEF．[（10分）]
所以AD⊥DM．
因为AD∥MN，所以DM⊥MN．[（11分）]
因为平面ADMN∩平面FBC=MN，
若使平面ADMN⊥平面BCF，
则DM⊥平面BCF，所以DM⊥FC．[（12分）]
在梯形CDEF中，因为EF∥CD，DE⊥CD，CD=2EF=2，ED=$\sqrt{3}$，
所以DF=DC=2．
所以若使DM⊥FC能成立，则M为FC的中点．
所以$\frac{FM}{FC}$=$\frac{1}{2}$．[（14分）]

点评 本题考查线面平行的判定与性质，考查线面垂直、面面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．