Question

4．若二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≤b）的值域为[0，+∞），则$\frac{b-a}{a+b+c}$的最大值是$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 设b-a=k，由△=0，可得c=$\frac{（a+k）^{2}}{4a}$，$\frac{b-a}{a+b+c}$=$\frac{k}{2a+k+c}$=$\frac{k}{2a+k+\frac{（a+k）^{2}}{4a}}$=$\frac{k}{\frac{9a}{4}+\frac{3k}{2}+\frac{{k}^{2}}{4a}}$=$\frac{1}{\frac{9a}{4k}+\frac{k}{4a}+\frac{3}{2}}$，再利用基本不等式求得它的最大值．

解答 解：设b-a=k，则b=a+k，
且△=b²-4ac=（a+k）²-4ac=0，
∴c=$\frac{（a+k）^{2}}{4a}$．
∴$\frac{b-a}{a+b+c}$=$\frac{k}{2a+k+c}$=$\frac{k}{2a+k+\frac{（a+k）^{2}}{4a}}$
=$\frac{k}{\frac{9a}{4}+\frac{3k}{2}+\frac{{k}^{2}}{4a}}$=$\frac{1}{\frac{9a}{4k}+\frac{k}{4a}+\frac{3}{2}}$≤$\frac{1}{2\sqrt{\frac{9a}{4k}•\frac{k}{4a}}+\frac{3}{2}}$=$\frac{1}{2×\frac{3}{4}+\frac{3}{2}}$=$\frac{1}{3}$，
当且仅当k=3a，b=4a时，取得最大值$\frac{1}{3}$．
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 本题主要考查二次函数的性质，基本不等式的应用，注意用放缩法，属于中档题．