Question

1．已知A、B为双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左右顶点，F₁，F₂为其左右焦点，双曲线的渐近线上一点P（x₀，y₀）（x₀＜0，y₀＞0），满足$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$=0，且∠PBF₁=45°，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由题意可得PF₁⊥PF₂，|PO|=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|=c，求出双曲线的一条渐近线方程，可得x₀，y₀的方程，解方程可得P的坐标，解直角三角形PAB，可得b=2a，求出a，c的关系，运用离心率公式即可得到所求值．

解答 解：F₁，F₂为其左右焦点，满足$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$=0，
可得PF₁⊥PF₂，|PO|=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|=c，
由双曲线的渐近线方程y=-$\frac{b}{a}$x，
即有x₀²+y₀²=c²，bx₀+ay₀=0，
解得P（-a，b），
则PA⊥AB，
又∠PBF₁=45°，
则|PA|=|AB|，
即有b=2a，可得c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{5}$a，
则e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和直角三角形的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．