Question

15．已知f'（x）=2x+m，且f（0）=0，函数f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线的斜率为3，数列$\left\{{\frac{1}{f（n）}}\right\}$的前n项和为S_n，则S₂₀₁₇的值为（　　）

• A． $\frac{2017}{2018}$
• B． $\frac{2014}{2015}$
• C． $\frac{2015}{2016}$
• D． $\frac{2016}{2017}$

Answer 1

分析 由题意可设f（x）=x²+mx+c，运用导数的几何意义，由条件可得m，c的值，求出$\frac{1}{f（n）}$=$\frac{1}{{n}^{2}+n}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，再由数列的求和方法：裂项相消求和，计算即可得到所求和．

解答 解：f'（x）=2x+m，可设f（x）=x²+mx+c，
由f（0）=0，可得c=0．
可得函数f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线的斜率为2+m=3，
解得m=1，
即f（x）=x²+x，
则$\frac{1}{f（n）}$=$\frac{1}{{n}^{2}+n}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
数列$\left\{{\frac{1}{f（n）}}\right\}$的前n项和为S_n，
则S₂₀₁₇=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2017}$-$\frac{1}{2018}$=1-$\frac{1}{2018}$=$\frac{2017}{2018}$．
故选：A．

点评 本题考查二次函数的求法，注意运用导数公式，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．