Question

13．如图，在平行四边形ABCD中，点E为边AB的中点，BD与CE交于点P，若$\overrightarrow{AP}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AD}（x，y∈R）$，则2x+y=；若点Q是△BCP内部（包括边界）一动点，且$\overrightarrow{AQ}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AD}（m，n∈R）$，则m+2n的取值范围为[1，3]．

Answer 1

分析 由题意，$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AE}$+$\overrightarrow{EP}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}\overrightarrow{EC}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{6}\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$，可得结论；考虑3个顶点位置的取值，可得结论．

解答 解：由题意，$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AE}$+$\overrightarrow{EP}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}\overrightarrow{EC}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{6}\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$，
∴x=$\frac{2}{3}$，y=$\frac{1}{3}$，∴2x+y=$\frac{5}{3}$；
Q在P点时，m=$\frac{2}{3}$，n=$\frac{1}{3}$，∴m+2n═$\frac{4}{3}$；
Q在B点时，m=1，n=0，∴m+2n=1；
Q在C点时，m=1，n=1，∴m+2n=3，
∴m+2n的取值范围为[1，3]．
故答案为$\frac{5}{3}；[1，3]$．

点评 本题考查向量的线性运算，考查学生的计算能力，属于中档题．