Question

3．将函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（ω＞0，|ϕ|＜$\frac{π}{2}$）的图象向右平移$\frac{π}{12}$单位后得到的函数图象关于直线x=$\frac{π}{2}$对称，且平移后所得函数的单调递增区间为$（0，\frac{π}{2}）$，则实数ϕ的值为$-\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律得到平移后函数解析式为g（x）=Asin（ωx-$\frac{ωπ}{12}$+φ）．由已知条件推知该函数的最小正周期为π，易得ω=2，然后结合正弦函数图象的对称性质来求φ的值即可．

解答 解：将函数$f（x）=Asin（ωx+ϕ）（ω＞0，|ϕ|＜\frac{π}{2}）$的图象向右平移$\frac{π}{12}$单位后得到的函数g（x）=Asin（ωx-$\frac{ωπ}{12}$+φ）．
∵函数f（x）=Asin（ωx-$\frac{ωπ}{12}$+φ）的单调递增区间为$（0，\frac{π}{2}）$，
∴T=$\frac{2π}{ω}$=π，则ω=2，
又平移后得到的函数图象关于直线x=$\frac{π}{2}$对称，
∴2×$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{6}$+φ=$\frac{π}{2}$（k∈Z），
则φ=$-\frac{π}{3}$．
故答案是：$-\frac{π}{3}$．

点评 本题主要考查正弦函数的图象的对称性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题．