Question

已知正项数列{a_n}满足4S_n=（a_n+1）²．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

2-an

2n

，数列{b_n}的前n项和为T_n．是否存在整数m，使T_n＜m对n∈N^*都成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用公式法求数列的通项公式，两式作差可得{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列，即可得出结论；
（2）b_n=

2-an

2n

=

3-2n

2n

，利用错位相减法求得数列{b_n}的前n项和为T_n．可得T_n≤T₁=

1

2

，故m＞

1

2

即可，又又m∈Z，即可得出m_min=1．

解答： 解：（1）∵4S_n=（a_n+1）²．
∴4s₁=(a1+1)2⇒a₁=1，
当n≥2时，4s_n-1=(an-1+1)2，
∴4s_n-4s_n-1=(an+1)2-(an-1+1)2，
即4a_n=(an+1)2-(an-1+1)2，
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
又∵{a_n}是正项数列，
∴a_n-a_n-1=2，
∴{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列，
∴a_n=2n-1．
（（2）b_n=

2-an

2n

=

3-2n

2n

，
∴T_n=

1

2

+

-1

22

+

-3

23

+…+

3-2n

2n

1

2

T_n=

1

22

+

-1

23

+…+

5-2n

2n

+

3-2n

2n+1

，
两式相减，得：

1

2

T_n=

1

2

-2（

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

）-

3-2n

2n+1

=

1

2

-2•

1 22 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

3-2n

2n+1

=

2n+1

2n+1

-

1

2

∴T_n=

2n+1

2n

-1．
∵

2n+1 2n

2n+3 2n+1

=

4n+2

2n+3

＞1，
∴数列{T_n}是递减数列，
∴T_n≤T₁=

1

2

由题意，只需m＞

1

2

，又m∈Z
∴m_min=1
故，存在整数m符合题意，其最小值为1．

点评：本题属于数列与不等式的综合性问题，考查公式法求数列通项公式及数列错位相减法求和等知识，考查学生恒成立问题的等价转化思想的运用及运算求解能力，属于难题．