Question

设函数f（x）=x²+a|x-1|+1，
（1）若a=1，求f（x）的值域；
（2）求f（x）在区间[1，3]上的最大值；
（3）若不等式f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：本题（1）通过分类讨论去绝对值号，研究分段函数的值域，得到本题结论；（2）通过定义域去掉绝对值号，再对函数的对称轴位置进行分类讨论，得到本题结论；（3）先对定义域进行分类讨论去掉绝对值号，再对函数的对称轴位置讨论，研究函数的最小值，在函数最小值非负，得到a的取值范围，即本题结论．

解答： 解：（1）∵a=1，
∴f（x）=x²+a|x-1|+1=f（x）
=x²+|x-1|+1=

x2+x，(x≥1) x2-x+2，(x＜1)

．
当a≥1时，f(x)=(x+

1

2

)2-

1

4

≥2；
当a＜1时，f(x)=(x-

1

2

)2+

7

4

≥

7

4

，
∴f（x）的值域为[2，+∞）．
（2）当x∈[1，3]时，
f（x）=x²+a（x-1）+1=x²+ax+1-a，
当-

a

2

≤2，即a≥-4时，[f（x）]_max=f（3）=2a+10；
当-

a

2

＞2，即a＜-4时，[f（x）]_maxf（1）=2；
∴在区间[1，3]上f（x）的最大值为[f(x)]max=

2a+10，(a≥-4) 2，(a＜-4)

．
（3）∵不等式f（x）≥0恒成立，
∴[f（x）]_min≥0．
∵f（x）=x²+a|x-1|+1=

x2+ax+1-a，(x≥1) x2-ax+1+a，(x＜1)

，
∴当a≤-2时，

a

2

≤-1＜1，-

a

2

≥1，
∴

f( a 2 )≥0 f(- a 2 )≥0

，即2-2

2

≤a≤-2+2

2

，
此时无解；
当-2＜a＜2时，

a

2

＜1，-

a

2

＜1，
∴

f(1)≥0 f( a 2 )≥0

，即2-2

2

≤a≤2+2

2

，
∴2-2

2

≤a＜2；
当a≥2时，

a

2

≥1，-

a

2

≤-1＜1，
∴f（1）≥0，
∴a≥2．
综上，a≥2-2

2

．

点评：本题考查了绝对值问题、函数值域问题，还考查了分类讨论思想，本题思维质量高，运算难度大，属于难题．