Question

6．为调查大学生这个微信用户群体中每人拥有微信群的数量，现从武汉市大学生中随机抽取100位同学进行了抽样调查，结果如下：

微信群数量	频数	频率
0至5个	0	0
6至10个	30	0.3
11至15个	30	0.3
16至20个	a	c
20个以上	5	b
合计	100	1

（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）以这100个人的样本数据估计武汉市的总体数据且以频率估计概率，若从全市大学生（数量很大）中随机抽取3人，记X表示抽到的是微信群个数超过15个的人数，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由频率分布表能求出a，b，c的值．
（Ⅱ）依题意可知，微信群个数超过15个的概率为p=$\frac{2}{5}$． X的所有可能取值0，1，2，3．分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（Ⅰ）由已知得：0+30+30+a+5=100，解得a=35，
∴$b=\frac{5}{100}=0.05，c=\frac{35}{100}=0.35$．…（3分）
（Ⅱ）依题意可知，微信群个数超过15个的概率为p=$\frac{2}{5}$．        …（4分）
X的所有可能取值0，1，2，3． …（5分）
则P（X=0）=${C}_{3}^{0}（\frac{2}{5}）^{0}（1-\frac{2}{5}）^{3}$═$\frac{27}{125}$，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{2}{5}）（1-\frac{2}{5}）^{2}$=$\frac{54}{125}$，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{2}{5}）^{2}（1-\frac{2}{5}）$=$\frac{36}{125}$，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}（\frac{2}{5}）^{3}（1-\frac{2}{5}）^{0}$=$\frac{8}{125}$． …（8分）
其分布列如下：

X	0	1	2	3
P	$\frac{27}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{8}{125}$

…（10分）
EX=$0×\frac{27}{125}+1×\frac{54}{125}+2×\frac{36}{125}+3×\frac{8}{125}$=$\frac{6}{5}$． …（12分）

点评 本题考查概率的求法，考查频率分布表、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．