Question

11．已知直线l：x-2y-5=0，圆C：x²+y²=25．
（Ⅰ）求直线与圆C的交点A，B的坐标；
（Ⅱ）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{x-2y-5=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=25}\end{array}\right.$，能求出直线和圆C的交点A，B的坐标．
（Ⅱ）由A（5，0），B（-3，-4），求出AB=4$\sqrt{5}$，直线AB的方程为x-2y-5=0，求出点C（0，0）到直线AB的距离h=$\sqrt{5}$，由此能求出△ABC的面积．

解答 解：（Ⅰ）联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{x-2y-5=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=25}\end{array}\right.$，
消去x，得y²+4y=0，解得y=0或y=-4，
当y=0时，x=5；当y=-4时，x=-3
所以直线和圆C的交点A，B的坐标分别为A（5，0），B（-3，-4）．…（5分）
（Ⅱ）∵A（5，0），B（-3，-4），
∴AB=$\sqrt{（5+3）^{2}+（0+4）^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
直线AB的方程为：$\frac{y}{x-5}=\frac{-4-0}{-3-5}$，即x-2y-5=0，
点C（0，0）到直线AB的距离h=$\frac{|0-0-5|}{\sqrt{1+4}}$=$\sqrt{5}$，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}×AB×h=\frac{1}{2}×4\sqrt{5}×\sqrt{5}$=10．…（10分）

点评 本题考查直线与圆的交点坐标的求法，考查三角形的面积公式的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．