Question

17．△ABC的三个内角为A、B、C，若$\frac{{sinA+\sqrt{3}cosA}}{{cosA-\sqrt{3}sinA}}=tan\frac{7π}{12}$，则sin2B+2cosC的最大值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． 1
• C． $\frac{3}{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 利用同角三角函数的基本关系、诱导公式求得A的值，再利用余弦函数的定义域和值域，求得t=cosC 的范围，利用二次函数的性质，求得sin2B+2cosC的最大值．

解答 解：∵△ABC的三个内角为A、B、C，若$\frac{{sinA+\sqrt{3}cosA}}{{cosA-\sqrt{3}sinA}}=tan\frac{7π}{12}$，则$\frac{tanA+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}•tanA}$=tan（$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}$，
求得 tanA=1，∴A=$\frac{π}{4}$，B+C=$\frac{3π}{4}$，
sin2B+2cosC=sin2（$\frac{3π}{4}$-C）+2cosC=-2cos2C+2cosC=1-2cos²C+2cosC．
令t=cosC，C∈（0，$\frac{3π}{4}$），则t∈（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1），要求的式子为-2t²+2t+1=-2•${（t-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{3}{2}$，
故当t=$\frac{1}{2}$时，则sin2B+2cosC取得最大值为$\frac{3}{2}$，
故选：C．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式、余弦函数的定义域和值域，二次函数的性质，属于中档题．