Question

18．已知函数f（x）=x³+3ax²．
（Ⅰ） 若a=-1，求f（x）的极值点和极值；
（Ⅱ） 求f（x）在[0，2]上的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间和极值即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）a=-1时，f（x）=x³-3x²，
f′（x）=3x²-6x=3x（x-2），
令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜0，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，
故f（x）在（-∞，0）递增，在（0，2）递减，在（2，+∞）递增；
故x=0是极大值点，极大值是f（0）=0，
x=2是极小值点，极小值是f（2）=-4；
（Ⅱ）f′（x）=3x²+6ax=3x（x+2a），
a≥0时，f′（x）≥0，f（x）在[0，2]递增，
故f（x）_max=f（2）=12a+8；
-1＜a＜0时，-2＜2a＜0，
令f′（x）＞0，解得：x＞-2a，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜-2a，
故f（x）在[0，-2a）递减，在（-2a，2]递增，
故f（x）_max=f（0）=0或f（2）=12a+8；
a≤-1时，2a≤-2，f（x）在[0，2]递减，
故f（x）_max=f（0）=0．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．