Question

8．如图，PA⊥⊙O面，PA=2，AB为⊙O的直径，其长为4，四边形ABCD内接于圆O，且∠ADC=120°．
（1）求点C到平面PAB的距离；
（2）当D在$\widehat{AC}$上什么位置时，BC∥平面POD；
（3）在（2）的条件下，求二面角D-PC-B的正切值．

Answer 1

分析 （1）作CE⊥AB，则CE⊥平面PAB，CE为点C到平面PAB的距离；
（2）当D在$\widehat{AC}$上中点位置时，BC∥平面POD．证明BC∥OD即可；
（3）作DM⊥AC于M，过M作MN⊥PC，由三垂线定理得∠MND为二面角D-PC-A的平面角．

解答 解：（1）作CE⊥AB，则CE⊥平面PAB，
∴CE为点C到平面PAB的距离，
连接AC，则AC⊥BC，∠B=60°，
∵AB=4，∴BC=2，
∴CE=$\sqrt{3}$，即点C到平面PAB的距离为$\sqrt{3}$；
（2）当D在$\widehat{AC}$上中点位置时，BC∥平面POD．
∵D在$\widehat{AC}$上中点位置时，∠DAB=60°，
∴DC∥AB，DC=AD=$\frac{1}{2}$AB=OB，
∴OBCD是平行四边形，
∴BC∥OD，
∵BC?平面POD，OD?平面POD，
∴BC∥平面POD；
（3）作DM⊥AC于M，过M作MN⊥PC，由三垂线定理得∠MND为二面角D-PC-A的平面角．
在△MND中，求得tan∠MND=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵BC⊥AC，BC⊥PA，AC∩PA=A，∴BC⊥平面PAC，
∴二面角D-PC-B的正切值=tan（90°+∠MND）=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查线面垂直、线面平行的证明，考查空间角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．