题目内容
已知函数f（x）=cos2x+2
sinxcosx-sin2x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若f（
）=2，a=
，b=1，判断△ABC的形状．
| 3 |
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若f（
| A |
| 2 |
| 3 |
考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦定理
专题：三角函数的图像与性质,解三角形
分析：（Ⅰ）利用三角恒等变换可得f（x）=2sin（2x+
），利用正弦函数的性质可得f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）由f（
）=2sin（A+
）=2，可得A=
，利用正弦定理可求得B=
，C=
，从而可判断△ABC为直角三角形．
| π |
| 6 |
（Ⅱ）由f（
| A |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
解答：
解：﹙Ⅰ﹚f（x）=cos2x+2
sinxcosx-sin2x=cos2x+
sin2x=2sin（2x+
），…（4分）
所以T=π…（5分）
由2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
，k∈Z
得f（x）的增区间为[kπ-
，kπ+
]，k∈Z．…（7分）
﹙Ⅱ﹚由f（
）=2，有f（
）=2sin（A+
）=2，
所以 sin(A+
)=1…（8分）
因为0＜A＜π，得A+
=
，即A=
…（10分）
由正弦定理
=
得sinB=
又b＜a，B＜A，
所以B=
，所以C=
…．…（12分）
∴△ABC为直角三角形．…（13分）
| 3 |
| 3 |
| π |
| 6 |
所以T=π…（5分）
由2kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
得f（x）的增区间为[kπ-
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
﹙Ⅱ﹚由f（
| A |
| 2 |
| A |
| 2 |
| π |
| 6 |
所以 sin(A+
| π |
| 6 |
因为0＜A＜π，得A+
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
由正弦定理
| a |
| sinA |
| b |
| sinB |
| 1 |
| 2 |
又b＜a，B＜A，
所以B=
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
∴△ABC为直角三角形．…（13分）
点评：本题考查三角恒等变换的应用及正弦定理，着重考查正弦函数的单调性与三角形形状的判定，属于中档题．
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在区间[-2，3]上随机地取一个数a，则函数f（x）=
x3-ax2+（a+2）x有极值的概率为（ ）
| 1 |
| 3 |
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
已知P是平面区域
内的动点，向量
=（1，3），则
•
的最小值为（ ）
|
| a |
| OP |
| a |
| A、-1 | B、-12 |
| C、-6 | D、-18 |
已知全集U={x|1≤x≤7，x∈Z}，A={1，3，5，7}，B={2，4，5}，则B∩（∁UA）=（ ）
| A、{5} |
| B、{2，4} |
| C、{2，4，5，6} |
| D、{1，3，5，6，7} |
若lg2=a，lg3=b，则
等于（ ）
| lg15 |
| lg12 |
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
如图，河流航线AC段长40公里，工厂B位于码头C正北30公里处，原来工厂B所需原料需由码头A装船沿水路到码头C后，再改陆路运到工厂B，由于水运太长，运费太高，工厂B与航运局协商在AC段上另建一码头D，并由码头D到工厂B修一条新公路，原料改为按由A到D再到B的路线运输．设|AD|=x公里（0≤x≤40），每10吨货物总运费为y元，已知每10吨货物每公里运费，水路为l元，公路为2元．