Question

已知函数f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1）是定义在R上的奇函数．
（1）求k的值；
（2）若f（1）=

3

2

，且函数f（x）在[1，t]上的值域为[

3

2

，

15

4

]，求t的值；
（3）设函数g（x）=f（x）-f（2-x）+3，x₁，x₂是R上的任意两个实数，且x₁+x₂=1，若g（mx₁）+g（mx₂）恒为一个常数，求非零常数m的值．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数f（x）为R上的奇函数得f（0）=0，代入解析式可求得k的值；
（2）根据f（1）的值，可以求得a，根据函数单调性的定义，利用作差法，即可证得函数的单调性；
（3）把f（x）代入g（x）化简后，代入g（mx₁）+g（mx₂）进行化简，根据g（mx₁）+g（mx₂）恒为一个常数，求出m的值．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0，则ka⁰-a^-0=0，解得k=1，
（2）由f（1）=

3

2

得，a-a^-1=

3

2

，解得a=2，
下面证明函数f（x）在R上是增函数，
设x₂＞x₁，则f（x₂）-f（x₁）=（2x2-2-x2）-（2x1-2-x1）
=（2x2-2x1）（1+

1

2x2•2x1

）
∵x₂＞x₁，∴2x2＞2x1，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，则f（x）在R上为增函数，
又∵函数f（x）在[1，t]上的值域为[

3

2

，

15

4

]，
∴f（t）=2^t-2^-t=

15

4

，解得t=2；
（3）g（x）=f（x）-f（2-x）+3
=a^x-a^-x-（a^2-x-a^x-2）+3
=(1+

1

a2

)ax-(1+a2)a-x+3，
∴g（mx₁）+g（mx₂）=(1+

1

a2

)amx1-(1+a2)a-mx1+3+(1+

1

a2

)amx2-(1+a2)a-mx2+3
=(1+

1

a2

)(amx1+amx2)-(1+a2)(a-mx1+a-mx2)+6
=(1+

1

a2

)(amx1+amx2)-(1+a2)(

1

amx1

+

1

amx2

)+6
=(1+a2)(amx1+amx2)(

1

a2

-

1

amx1•amx2

)+6
=(1+a2)(amx1+amx2)(

1

a2

-

1

am

)+6恒为一个常数，
则m=2．

点评：本题考查奇函数的性质，函数单调性的判断与证明，证明的步骤是：设值，作差，化简，定号，下结论；同时考查函数的值域问题，以及化简能力．