Question

函数 y=asin2x+bcos2x（a，b不全为0）的图象关于直线x=-

π

6

对称，那么直线l：ax+by+c=0的倾斜角是（　　）

• A、

  π

  6

• B、

  π

  3

• C、

  2π

  3

• D、

  5π

  6

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,正弦函数的对称性,直线的倾斜角

专题：三角函数的图像与性质,直线与圆

分析：化简函数y=asin2x+bcos2x为一个角的一个角的函数形式，利用x=-

π

6

是函数y=asin2x+bcos2x图象的一条对称轴，求出a，b的值，然后求直线l的斜率与倾斜角．

解答： 解：∵函数 y=asin2x+bcos2x（a，b不全为0）的图象关于直线x=-

π

6

对称，
设sinθ=

b

a2+b2

，cosθ=

a

a2+b2

，
∴y=asin2x+bcos2x=

a2+b2

（

a

a2+b2

sin2x+

b

a2+b2

cos2x）
=

a2+b2

sin（2x+θ），
当x=-

π

6

时，
2x+θ=-

π

3

+θ=

π

2

+kπ，（k∈Z），
∴θ=

π

3

+

π

2

+kπ=

5π

6

+kπ，（k∈Z），
不妨取k=0时，得θ=

5π

6

；
∴sinθ=

b

a2+b2

=

1

2

，cosθ=

a

a2+b2

=-

3

2

，
解得a=-

3

，b=1；
∴直线l：ax+by+c=0可化为
-

3

x+y+c=0，
它的斜率为k=

3

，
∴倾斜角是

π

3

；
故选：B．

点评：本题考查了三角函数与向量知识的综合应用问题，是综合题目．