Question

已知过点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点．
（1）若以为直径的圆经过原点，求直线的方程；
（2）若线段的中垂线交轴于点，求面积的取值范围．

Answer 1

解：（1）（2） 。

试题分析：
思路分析：（1）通过分析已知条件，确定直线的斜率存在，故可设直线方程为，通过联立方程组 ，消去，应用韦达定理及，建立k的方程，求解。
（2）通过设线段的中点坐标为
确定线段的中垂线方程为，
将用k表示， ，
利用二次函数的图象和性质，得到，进一步确定三角形面积的最值。
解：（1）依题意可得直线的斜率存在，设为，
则直线方程为 1分
联立方程 ，消去，并整理得  2分
则由，得
设，则       4分
      5分
以为直径的圆经过原点

，解得        6分
直线的方程为，即         7分
（2）设线段的中点坐标为
由（1）得         8分
线段的中垂线方程为         9分
令，得    11分
又由（1）知，且 或
，   13分
面积的取值范围为            14分
点评：中档题，确定抛物线的标准方程，一般利用“待定系数法”，涉及直线与抛物线的位置关系，往往通过联立方程组，应用韦达定理，简化解题过程。