Question

13．已知数列{a_n}满足递推关系式a_n+1=3a_n+3ⁿ-8（n∈N₊），且{$\frac{{{a_n}+λ}}{3^n}$}为等差数列，则λ的值是-4．

Answer 1

分析 根据题意和等差数列的定义得：$\frac{{a}_{n+1}+λ}{{3}^{n+1}}-\frac{{a}_{n}+λ}{{3}^{n}}=d$，把递推公式代入化简后由整体思想求出λ的值．

解答 解：因为{$\frac{{{a_n}+λ}}{3^n}$}为等差数列，
所以$\frac{{a}_{n+1}+λ}{{3}^{n+1}}-\frac{{a}_{n}+λ}{{3}^{n}}=d$，d为常数，
因为a_n+1=3a_n+3ⁿ-8（n∈N₊），
所以$\frac{{3a}_{n}+{3}^{n}-8+λ}{{3}^{n+1}}-\frac{{a}_{n}+λ}{{3}^{n}}=d$，
则左边=$\frac{{3a}_{n}+{3}^{n}-8+λ-（3{a}_{n}+3λ）}{{3}^{n+1}}$
=$\frac{{3}^{n}-8-2λ}{{3}^{n+1}}$=$\frac{1}{3}+\frac{-8-2λ}{{3}^{n+1}}$为常数，
则-8-2λ=0，解得λ=-4，
故答案为：-4．

点评 本题考查等差数列的定义，以及数列递推公式的应用，考查整体思想，化简、变形能力，属于中档题．