Question

5．在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为AD，A₁B₁的中点．
（1）求证：DB₁⊥CD₁；
（2）求三棱锥B-EFC的体积．

Answer 1

分析 （1）推导出CD₁⊥B₁C₁，DC₁⊥CD₁，从而CD₁⊥平面DB₁C₁，由此能证明DB₁⊥CD₁．
（2）三棱锥B-EFC的体积V_B-EFC=V_F-BEC．由此能求出结果．

解答 （本小题满分12分）
证明：（1）在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
B₁C₁⊥面CC₁D₁D，CD₁?面CC₁D₁D，∴CD₁⊥B₁C₁，
∵CC₁D₁D是正方形，∴DC₁⊥CD₁，
又DC₁∩B₁C₁=C₁，∴CD₁⊥平面DB₁C₁，
又DB₁?平面DB₁C₁，∴DB₁⊥CD₁．…（6分）
解：（2）F到平面BEC的距离BB₁=2，
S_△BEC=$\frac{1}{2}×2×2$=2，
∴三棱锥B-EFC的体积${V_{B-EFC}}={V_{F-BEC}}=\frac{1}{3}•{S_{△BEC}}•B{B_1}=\frac{4}{3}$．…（12分）

点评 本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．