Question

2．已知平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁，设A₁D₁中点为M，CD的中点为N，若∠A₁AD=∠A₁AB=∠BAD=60°且AA₁=AB=AD=1，则|AC₁|=$\sqrt{6}$，若$\overrightarrow{MN}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AD}$+z$\overrightarrow{A{A}_{1}}$，则x+y+z=0．

Answer 1

分析 ①$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{A{A}_{1}}$，利用数量积运算性质可得${\overrightarrow{A{C}_{1}}}^{2}$=${\overrightarrow{AB}}^{2}+{\overrightarrow{AD}}^{2}$+${\overrightarrow{A{A}_{1}}}^{2}$+$2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$+2$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{A{A}_{1}}$+2$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{A{A}_{1}}$，即可得出．
②$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$-$（\overrightarrow{A{A}_{1}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}）$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{A{A}_{1}}$，与$\overrightarrow{MN}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AD}$+z$\overrightarrow{A{A}_{1}}$比较即可得出．

解答 解：①$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{A{A}_{1}}$，
∴${\overrightarrow{A{C}_{1}}}^{2}$=${\overrightarrow{AB}}^{2}+{\overrightarrow{AD}}^{2}$+${\overrightarrow{A{A}_{1}}}^{2}$+$2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$+2$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{A{A}_{1}}$+2$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{A{A}_{1}}$=3+2×3×cos60°=6，
解得$|\overrightarrow{A{C}_{1}}|$=$\sqrt{6}$．
②$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$-$（\overrightarrow{A{A}_{1}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}）$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{A{A}_{1}}$，
与$\overrightarrow{MN}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AD}$+z$\overrightarrow{A{A}_{1}}$比较可得：x=$\frac{1}{2}$=y，z=-1．
则x+y+z=0．
故答案为：$\sqrt{6}$，0．

点评 本题考查了向量三角形法则、平行四边形法则、平面向量基本定理、向量共线定理、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．