Question

10．圆x²+y²=1的切线与椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1交于两点A，B，分别以A，B为切点的$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的切线交于点P，则点P的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$．

Answer 1

分析 设圆的切线方程为：y=kx+b，A（x₁，x₂），B（x₂，y₂），则1+k²=b²，圆的切线PA、PB的方程分别为：3x₁x+4y₁y=12、3x₂x+4y₂y=12、求出交点即点P的参数方程为-$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{4k}{b}}\\{y=\frac{3}{b}}\end{array}\right.$，利用1+k²=b²消去k、b

解答 解：设圆的切线方程为：y=kx+b，A（x₁，x₂），B（x₂，y₂），
则1+k²=b²，
椭圆的切线PA、PB的方程分别为：3x₁x+4y₁y=12、3x₂x+4y₂y=12，
则PA，PB的交点的纵坐标y_p=$\frac{3（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{y}_{1}{x}_{2}-{y}_{2}{x}_{1}}=\frac{3（{x}_{2}-{x}_{1}）}{b（{x}_{2}-{x}_{1}）}=\frac{3}{b}$…代入3x₁x+4y₁y=12得PA，PB的交点的横坐标x_p=$\frac{4b-4{y}_{1}}{b{x}_{1}}=\frac{4b-4（k{x}_{1}+b）}{b{x}_{1}}=-\frac{4k}{b}$；
即点P的参数方程为-$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{4k}{b}}\\{y=\frac{3}{b}}\end{array}\right.$，
利用1+k²=b²消去k、b得$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$，
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$．

点评 本题考查了圆、椭圆的切线方程、及参数法求轨迹方程，是中档题．