Question

8．已知定点A（0，1），直线l₁：y=-1交y轴于点B，记过点A且与直线l₁相切的圆的圆心为点C．
（1）求动点C的轨迹E的方程；
（2）设倾斜角为α的直线l₂过点A，交轨迹E于两点P、Q，交直线l₁于点R．若$α∈[{\frac{π}{6}，\frac{π}{4}}]$，求|PR|•|QR|的最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知可得，点C的轨迹是以A为焦点，l₁为准线的抛物线，由此能求出轨迹E的方程．
（2）设直线l₂的方程为y=kx+1，与抛物线C方程联立消掉y得x的二次方程，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），易求R点坐标，由弦长公式及韦达定理把|PR|•|QR|表示出来，可得关于k的函数，由$α∈[{\frac{π}{6}，\frac{π}{4}}]$，得k的范围，构造函数，根据函数的单调性即可求得|PR|•|QR|的最小值．

解答 解：（1）由已知可得，点C的轨迹是以A为焦点，l₁为准线的抛物线，
∴轨迹E的方程为x²=4y．…（4分）
（2）设直线l₂的方程为y=kx+1，代入抛物线方程x²=4y消去y，得x²-4kx-4=0．
记P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4．
因为直线l₂的斜率k≠O，易得点R的坐标为（-$\frac{2}{k}$，-1）．
|AR|•|BR|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x_R|•$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₂-x_R|
=（1+k²）•（x₁+$\frac{2}{k}$）（x₂+$\frac{2}{k}$）=（1+k²） x₁ x₂+（$\frac{2}{k}$+2 k）（ x₁+x₂）+$\frac{4}{{k}^{2}}$+4
=-4（1+k²）+4k（$\frac{2}{k}$+2k）+$\frac{4}{{k}^{2}}$+4=4（k²+$\frac{1}{{k}^{2}}$）+8，
又$α∈[{\frac{π}{6}，\frac{π}{4}}]$，∴k∈[$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1]，k²∈[$\frac{1}{3}$，1]，
令t=k²，∵f（t）=4（t+$\frac{1}{t}$）+8在[$\frac{1}{3}$，1]上递减，
所以|PR|•|QR|的最小值为16．

点评 本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查函数思想，是中档题．