Question

8．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{2}，0≤x＜1}\\{{2}^{x-1}，x≥1}\end{array}\right.$，存在x₂＞x₁≥0，使得f（x₁）=f（x₂），则x₁•f（x₂）的取值范围为（　　）

• A． [$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）
• B． [$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{3}{2}$）
• C． [$\frac{\sqrt{2}}{4}$，1）
• D． [1，$\frac{3}{2}$）

Answer 1

分析 根据函数的解析式画出函数的图象，根据题意数形结合求得x₁•f（x₂）的取值范围．

解答 解：①当0≤x＜1时，$\frac{1}{2}$≤f（x）＜$\frac{3}{2}$，
②当x＞1时，f（x）≥1，
如图所示，若存在x₂＞x₁≥0使得f（x₁）=f（x₂）
=k，则$\frac{1}{2}$≤x₁＜1≤x₂≤log₂3，
则1≤f（x₂）≤$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$×1≤x₁•f（x₂）＜1×$\frac{3}{2}$，
即$\frac{1}{2}$≤x₁•f（x₂）＜$\frac{3}{2}$，
故x₁•f（x₂）的取值范围为[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），
故选：A

点评 本题考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．