Question

已知函数f（x）=|x+3|，g（x）=m-2|x-11|，若2f（x）≥g（x+4）恒成立，实数m的最大值为t．
（1）求实数m．
（2）已知实数x、y、z满足2x²+3y²+6z²=a（a＞0），且x+y+z的最大值是

t

20

，求a的值．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法,二维形式的柯西不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）若2f（x）≥g（x+4）恒成立，可得m≤2（|x+3|+|x-7|），而由绝对值三角不等式可得 2（|x+3|+|x-7|）≥20，可得m≤20，由此求得m的最大值t．
（2）由柯西不等式可得[(

2

x)2+(

3

y)2+(

6

z)2]•[(

1

2

)2+(

1

3

)2+(

1

6

)2]≥(

2

x•

1

2

+

3

y•

1

3

 +

6

z•

1

6

)2，即a×1≥（x+y+z）²，即x+y+z≤

a

．再根据 x+y+z的最大值是

t

20

=1，可得

a

=1，从而求得a的值．

解答： 解：（1）由题意可得g（x+4）=m-2|x+4-11|=m-2|x-7|，若2f（x）≥g（x+4）恒成立，
∴2|x+3|≥m-2|x-7|，即 m≤2（|x+3|+|x-7|）．
而由绝对值三角不等式可得 2（|x+3|+|x-7|）≥2|（x+3）-（x-7）|=20，
∴m≤20，故m的最大值t=20．
（2）∵实数x、y、z满足2x²+3y²+6z²=a（a＞0），由柯西不等式可得
[(

2

x)2+(

3

y)2+(

6

z)2]•[(

1

2

)2+(

1

3

)2+(

1

6

)2]≥(

2

x•

1

2

+

3

y•

1

3

 +

6

z•

1

6

)2．
∴a×1≥（x+y+z）²，∴x+y+z≤

a

．
再根据 x+y+z的最大值是

t

20

=1，∴

a

=1，∴a=1．

点评：本题主要考查绝对值三角不等式、柯西不等式的应用，属于中档题．