Question

已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，且4S_n=a_n²+2a_n对任意的n∈N^*恒成立．
（Ⅰ）求a₁、a₂及数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=

1

anan+1

，记数列{b_n}的前n项和为T_n，是否存在实数λ，使不等式λS_n+1＞a_nT_n+1 对任意的正整数n都成立．若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知，4S_n=a_n²+2a_n仿写出4Sn+1=an+12+2an+1两式相减并整理a_n+1-a_n-2=0判定出数{a_n}列是以a₁=2为首项，d=2为公差，代入通项公式求出数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出{b_n}的通项公式为b_n═

1

4n(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)利用裂项求和的方法求出T_n，得λ(n+1)(n+2)＞

n(n+1)

2(n+2)

，分离参数利用基本不等式求最值求出λ的取值范围；

解答： 解：（Ⅰ）由题意知，当n=1时，4a1=a12+2a1，又a₁＞0，所以a₁=2 …（1分）
当n=2时，4(a1+a2)=a22+2a2，又a₂＞0，所以a₂=4…（2分）
∵4S_n=a_n²+2a_n∴4Sn+1=an+12+2an+1
两式相减并整理得  （a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-2）=0…（4分）
∵a_n+1+a_n＞0∴a_n+1-a_n-2=0…（5分）
所以数{a_n}列是以a₁=2为首项，d=2为公差的等差数列，
∴a_n=2n…（6分）
（Ⅱ由）∵b_n═

1

4n(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)
Tn=

1

4

[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]=

n

4(n+1)

…（8分）
又Sn=

1

4

(an2+2an)=n(n+1)
∴由λS_n+1＞a_nT_n+1 得λ(n+1)(n+2)＞

n(n+1)

2(n+2)

∴λ＞

n

2(n+2)2

=

1

2n+ 8 n +8

…（10分）
∵2n+

8

n

+8≥2

2n• 8 n

+8=16 当且仅当2n=

8

n

即n=2时取”=”
∴

1

2n+ 8 n +8

≤

1

16

   …（12分）
∴λ＞

1

16

∴存在实数λ，使不等式λS_n+1＞a_nT_n+对任意的正整数n都成立，且λ＞

1

16

…（13分）

点评：本题考查数列求通项、前n项和；不等式恒成立求参数范围、利用基本不等式求最值，属于一道综合题．