Question

对于函数f（x）=9^x-m•3^x+1，若存在实数x₀使得f（-x₀）=-f（x₀）成立，则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：依题意得，9^-x₀-m•3^-x₀+1=-9^x₀+m•3^x₀+1，分离参数m得：3m=3^x₀+3^-x₀-

2

3x0+3-x0

，构造函数t=3x0+3-x0，t≥2，则3m=t-

2

t

（t≥2），利用其单调性可求得3m的最小值，从而可得实数m的取值范围．

解答： 解：∵f（x）=9^x-m•3^x+1，f（-x₀）=-f（x₀），
∴9^-x₀-m•3^-x₀+1=-9^x₀+m•3^x₀+1，
∴3m（3^x₀+3^-x₀）=9^x₀+9^-x₀，
∴3m=

9x0+9-x0

3x0+3-x0

=3x0+3-x0-

2

3x0+3-x0

，
令t=3^x₀+3^-x₀，则t≥2，
∴3m=t-

2

t

（t≥2），
∵函数y=t与函数y=-

2

t

在[2，+∞）上均为单调递增函数，
∴3m=t-

2

t

（t≥2）在[2，+∞）上单调递增，
∴当t=2时，3m=t-

2

t

（t≥2）取得最小值1，即3m≥1，
解得：m≥

1

3

．
故答案为：[

1

3

，+∞）．

点评：本题考查指数型复合函数的性质及应用，求得3m=3x0+3-x0-

2

3x0+3-x0

是关键，也是难点，考查构造函数思想，考查双钩函数的性质与综合运算能力．