Question

16．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ²-4$\sqrt{2}$ρcos（θ-$\frac{π}{4}}$）+7=0．
（1）求曲线C的直角坐标方程并指出其形状；
（2）设P（x，y）是曲线C上的动点，求t=（x+1）（y+1）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用互化公式即可得出普通方程．
（2）设x=2+cosθ，y=2+sinθ．利用三角函数换元、二次函数的单调性即可得出．

解答 解　（1）由ρ²-4$\sqrt{2}$ρcos+7=0可得ρ²-4ρcosθ-4ρsinθ+7=0，化为直角坐标方程得x²+y²-4x-4y+7=0，
即（x-2）²+（y-2）²=1，它表示以（2，2）为圆心，以1为半径的圆．
（2）由题意可设x=2+cosθ，y=2+sinθ．
则t=（x+1）（y+1）=（3+cosθ）（3+sinθ）=9+3（sinθ+cosθ）+sinθcos．
令sinθ+cosθ=m，平方可得1+2sinθcosθ=m²，
所以sinθcosθ=$\frac{{m}^{2}-1}{2}$，t=9+3m+$\frac{{m}^{2}-1}{2}$=$\frac{1}{2}$m²+3m+$\frac{17}{2}$（-$\sqrt{2}$≤m≤$\sqrt{2}$）．
由二次函数的图象可知t的取值范围为$[\frac{19}{2}-3\sqrt{2}，\frac{19}{2}+3\sqrt{2}]$

点评 本题考查了极坐标与直角坐标方程互化公式、三角函数换元、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．