Question

1．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，CA=CB=2，AA₁=6，∠ACB=120°．若三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为（　　）

• A． 20π
• B． 42π
• C． 52π
• D． 56π

Answer 1

分析 通过已知体积求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OAO'中，求出球的半径，然后求出球的表面积即可．

解答 解：在△ABC中CA=CB=2，∠ACB=120°，
由余弦定理可得AB=2$\sqrt{3}$，
由正弦定理，可得△ABC外接圆半径r=2，
设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OAO'中，
得球半径R=$\sqrt{4+9}$=$\sqrt{13}$，
故此球的表面积为4πR²=52π．
故选C．

点评 本题是基础题，解题思路是：先求底面外接圆的半径，转化为直角三角形，求出球的半径，这是三棱柱外接球的常用方法；本题考查空间想象能力，计算能力．