Question

7．如图1，在∠A=45°的平行四边形ABCD中，DO垂直平分AB，且AB=2，现将△ADO沿DO折起（如图2），使AC=$\sqrt{6}$．
（Ⅰ）求证：直线AO⊥平面OBCD；
（Ⅱ）求平面AOD与平面ABC所成的角（锐角）的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由图1折起成图2后，推导出CD⊥OD，AO⊥OD，AO⊥OC，由此能证明AO⊥平面OBCD．
（Ⅱ）以O为坐标原点，分别为OD，OB，OA为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出平面AOD与平面ABC所成的角（锐角）的余弦值．

解答 （本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）由题设：AO=1，OA=OB=OD=1，CD=2，
由图1折起成图2后，$AC=\sqrt{6}$．
且CD⊥OD，AO⊥OD，①…（1分）
在△AOC中，OA²+OC²=6=AC²，
∴AO⊥OC，②…（3分）
又OC∩OD=O，③…（4分）
由①②③得，直线AO⊥平面OBCD．…（6分）
解：（Ⅱ）以O为坐标原点，分别为OD，OB，OA为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，
则A（0，0，1），B（0，1，0），C（1，2，0），
$\overrightarrow{AB}$=（0，1，-1），$\overline{AC}=（{1\;\;，\;\;2\;\;，\;\;-1}）$
设平面ABC的一个法向量为$\overrightarrow{n_1}=（{x\;\;，\;\;y\;\;，\;\;z}）$，
由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{AB}=0\\ \overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{AC}=0\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}y-z=0\\ x+2y-z=0\end{array}\right.$，
取y=z=1，则x=-1，即$\overrightarrow{n_1}=（{-1\;\;，\;\;1\;\;，\;\;1}）$，…（8分）
又OB⊥平面AOD，
所以，平面AOD的一个法向量为$\overrightarrow{n_2}=\overrightarrow{OB}=（{0\;\;，\;\;1\;\;，\;\;0}）$，…（9分）
设平面AOD与平面ABC所成的角（锐角）为θ，
则$cosθ=\frac{{|{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}|}}{{|{\overrightarrow{n_1}}||{\overrightarrow{n_2}}|}}=\frac{1}{{\sqrt{3}×1}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，…（11分）
所以，平面AOD与平面ABC所成的角（锐角）的余弦值为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．…（12分）

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．