Question

11．已知等比数列{a_n}，各项a_n＞0，公比为q．
（1）设b_n=log_ca_n（c＞0，c≠1），求证：数列{b_n}是等差数列，并求出该数列的首项b₁及公差d；
（2）设（1）中的数列{b_n}单调递减，求公比q的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据等比数列与等差数列的定义与通项公式，写出a_n与b_n，
即可得出{b_n}是等差数列，从而写出首项与公差；
（2）根据数列{b_n}的通项公式为一次函数，讨论一次项的系数即可得出结论．

解答 解：（1）等比数列{a_n}中，
${a_n}={a_1}{q^{n-1}}（{{a_1}＞0，q＞0}）$，
b_n=log_ca_n=log_ca₁+（n-1）log_cq，
∴数列{b_n}是等差数列，
且首项为b₁=log_ca₁，公差为d=log_cq；
（2）数列{b_n}的通项公式可化为
b_n=（log_cq）•n+（log_ca₁-log_cq），q≠1，
①若0＜c＜1，则当q＞1时，有log_cq＜0，从而数列{b_n}单调递减；
②若c＞1，则当0＜q＜1时，有log_cq＜0，从而数列{b_n}单调递减．
综上，当0＜c＜1时，q＞1；当c＞1时，0＜q＜1．

点评 本题考查了等差与等比数列的定义与通项公式的应用问题，是基础题目．