Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）经过点D（2，0），E（1，

3

2

）两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C交于不同两点A，B，点G是线段AB的中点，点O为坐标原点，设射线OG交椭圆C于点Q，且

OQ

=λ

OG

．
①证明：λ²m²=4k²+1；
②求△AOB的面积S（λ）的解析式，并计算S（λ）的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得

4 a2 =1 1 a2 + 3 4b2 =1

，由此能求出椭圆方程．
（2）①令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y=kx+m x2+4y2=4

，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式、向量知识，结合已知条件能证明λ²m²=4k²+1．
②由|x₁-x₂|=

( -8km 1+4k2 )2-4× 4m2-4 1+4k2

=

4 1+4k2-m2

1+4k2

，S△AOB=

1

2

|m||x1-x2|，得S（λ）=

2|m| λ2m2-m2

λ2m2

=

2 λ2-1

λ2

，λ＞1，由此利用换元法能求出当λ=

2

时，S（λ）=

2 λ2-1

λ2

取得最大值1．

解答： （1）解：∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）经过点D（2，0），E（1，

3

2

）两点，
∴

4 a2 =1 1 a2 + 3 4b2 =1

，
解得a=2，b=1，
∴椭圆方程为

x2

4

+y2=1．
（2）①证明：令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=kx+m x2+4y2=4

，消去y，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
∴

△=(8km)2-4(1+4k2)(4m2-4)＞0 x1+x2= -8km 1+4k2 x1x2= 4m2-4 1+4k2

，即

m2＜1+4k2 x1+x2= -8km 1+4k2 x1x2= 4m2-4 1+4k2

，
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=

k(-8km)

1+4k2

+2m=

2m

1+4k2

，
又由中点坐标公式，得G（

-4km

1+4k2

，

m

1+4k2

），
根据

OQ

=λ

OG

，得Q（

-4λkm

1+4k2

，

λm

1+4k2

），
将其代入椭圆方程，有

4λ2k2m2

(1+4k2)2

+

λ2m2

(1+4k2)2

=1，
化简得：λ²m²=4k²+1．
②解：由①得m≠0，λ＞1，
∵|x₁-x₂|=

( -8km 1+4k2 )2-4× 4m2-4 1+4k2

=

4 1+4k2-m2

1+4k2

，
在△AOB中，S△AOB=

1

2

|m||x1-x2|，
∴S（λ）=

2|m| λ2m2-m2

λ2m2

=

2 λ2-1

λ2

，λ＞1，
令

λ2-1

=t，t＞0，
则S=

2t

t2+1

=

2

t+ 1 t

＜

2

2 1

=1（当且仅当t=1时，即λ=

2

时取“=”）
∴当λ=

2

时，S（λ）=

2 λ2-1

λ2

取得最大值，其最大值为1．

点评：本题考查椭圆C的方程的求法，考查λ²m²=4k²+1的证明，考查△AOB的面积S（λ）的解析式的求法，考查S（λ）的最大值的计算，解题时要注意根的判别式、韦达定理、中点坐标公式、向量知识的合理运用．